Los ángulos

Coloquialmente todos conocemos un ángulo como una figura formada por dos líneas con origen común. Una definición más precisa sería llamar "ángulo" a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.

Los ángulos pueden tener numerosos grados de abertura desde 0 grados a 360 y dependiendo de su medida se pueden dividir en varios tipos. Aunque los más conocidos por niños en primaria son el recto, el agudo y el obtuso.

Además también existe otro tipo de clasificación dependiendo de la posición que adopten, dentro de esta clasificación podemos encontrar:

• Consecutivos: Tienen un vértice y un lado comunes.
• Adyacentes: Son consecutivos y, además, forman un ángulo llano.
• Opuestos por el vértice: Tienen el vértice en común y los lados en prolongación.

Pero los ángulos no solo están presentes en los ejercicios en clase de matemáticas, estos van mucho más allá y están presentes en cualquier lugar de nuestra vida diaria. Los podemos encontrar desde en las agujas de los relojes, en una simple percha hasta en nuestra ventana de la habitación. A continuación, os dejo un vídeo que sirve tanto como propuesta para hacer una dinámica con los niños en clase como para darnos cuenta de lo rodeados de ángulos que estamos.

Como siempre, aquí os dejo un par de enlaces de actividades online para trabajar con los alumnos de forma divertida:

• Los ángulos y el transportador
• Tipos de ángulos

Thales' Theorem

Good morning! Today I am going to speak about a useful theorem for maths classes, but fisrt I believe that it is necesary making a brief introduction of the author.

Thales of Miletus, about 624 BC– about546 BC), was a pre-Socratic Greek philosopher. He was from Miletus in Asia Minor. Many, notably Aristotle, regard him as the first philosopher in the Greek tradition.  His theorem is called Basic Proportionality Theorem or Thales theorem which say:

“If a straight line is drawn parallel to one of the sides of a triangle, then it cuts the other sides of the triangle, or these produced, proportionally; and, if the sides of the triangle, or the sides produced, are cut proportionally, then the line joining the points of section is parallel to the remaining side of the triangle.”

Proof of Thales' Theorem

Here, you can see a video with a graphical example of that with the use of ITC:

As always, here you have a link to explain this theorem to children in a simple way, in this case the video is in Spanish.

I hope it will be useful for you!

El número de oro

¡Buenas tardes! Hoy he decidido que sería buena idea explicaros ciertos aspectos sobre un número que, aunque lo tenemos presente de forma indirecta diariamente, la mayoría de vosotros no sabrá ni de su existencia.

El número áureo (también llamado número de oro, razón extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) es un número irracional, representado por la letra griega φ (phi) en honor al escultor griego Fidias y cuyo valor es 1'61803398...

Os preguntaréis qué tiene que ver este número con la geometría, se trata de un número que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en las partes de un cuerpo, y en la naturaleza como relación entre cuerpos, en la morfología de diversos elementos tales como  las hojas de algunos árboles, proporciones humanas, etc.

A continuación, podéis ver este vídeo donde se explica brevemente en qué consiste este número y como se puede hallar el rectángulas con estas proporciones (rectángulo áureo).

Ya que tenéis una base de qué es este número os voy a contar cómo está presente en algunos de los objetos que estamos hartos de ver por casa.  Vosotros mismos podréis comprobar cómo se repite este número:

• En primer lugar, coged una tarjeta de crédito y medid sus proporciones (medida del largo y del ancho): os dará unas cantidades parecidas a 8,6 cm y 5,4 cm. Si dividís ambas cantidades os saldrá un número muy parecido al número áureo. Esto también lo podéis comprobar con otras tarjetas como son el DNI e incluso en un décimo de lotería.
• Ahora repetid los mismos pasos con un paquete de tabaco. Por casualidad no tendrá el mismo resultado, ¿no?.

• Pero si no tenéis ninguno de estos objetos en casa no os preocupéis,también podéis ver esta relación con el cuerpo humano. Leonardo Da Vinci reflejó la proporción áurea del cuerpo humano en el hombre de Vitruvio. Realizad el mismo proceso con algunas de estas medidas:

• La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
• La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
• La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
• La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz.

• Además, también está presente en numerosas obras arquitectónicas como son la Torre Eiffel o el Partenón. El creador del Partenón fue Fidias (de ahí el nombre del número de oro) y como no podía ser menos la fachada del Partenón es un perfecto rectángulo de oro, pero además, hay otra serie de medidas en el edificio que también poseen proporciones áureas:

En la foto están marcados los rectángulos áureos: ABCD, AEGH, AEBF, y sus simétricos. 

Además, la zona de las molduras (en color violeta) también está compuesta por rectángulos áureos.

¿Cómo se calcula el área de un polígono?

Como bien sabéis existen muchos tipos de polígonos,  los más conocidos son el rectángulo el rombo, el triángulo y los polígonos regulares. Todos los polígonos tienen lados, vértices, perímetro y diagonal y pueden ser regulares o irregulares, dependiendo de si sus lados miden lo mismo o no. Para calcular el área de los polígonos deberemos de tener en cuenta lo siguiente:

• Todos los polígonos tienen área y perímetro y dependiendo de la característica del polígono se hallará de un modo u otro. Recordad:

• El área de un polígono es la medida de toda su superficie.

• El perímetro de un polígono es la medida de su contorno y se obtiene sumando las longitudes de sus lados.

• Para calcular el perímetro de cualquier polígono, necesitaremos simplemente sumar todos sus lados.

• Para calcular el área de los polígonos tendremos que prestar especial atención al tipo de polígono que tenemos delante. No se calcula igual el perímetro de un rectángulo, que el de un triángulo o rombo.

Por tanto, calcular el área de un polígono regular no hay mucho problema, es bastante sencillo, solo es necesario saber las fórmulas y a partir de ellas se obtiene el resultado.
Antes de continuar, ¿recordáis cómo calcular las áreas de polígonos regulares?
Esta semana os traigo al blog algunos trucos para evitar tantos comederos de cabeza al calcular el área de un polígono irregular. Estas son las fórmulas:

Sin embargo, Calcular el área de un polígono irregular puede resultar mucho más complejo.  La opción más utilizada es  descomponer el polígono irregular en otros polígonos regulares que conozcamos. Una vez hecho esto hallamos sus áreas y sumamos los resultados para obtener el área del polígono original. Pero si no tienes tanto tiempo, existe una forma mucho más rápida y sencilla de calcular el área con un teorema. 

Este teorema recibe el nombre de "Teorema de Pick" y  es una fórmula que relaciona el área de un polígono simple cuyos vértices tienen coordenadas enteras (polígono recticular o cerrado) con el número de puntos en su interior y en su borde que tengan también coordenadas enteras.  En otras palabras, consiste en contar el número de puntos del interior del polígono y sumarlos por el número de puntos del exterior dividido entre 2. Tras esto, le restas 1. Para que quede más claro a continuación tenéis un ejemplo: 

Para finalizar, como siempre os dejo este enlace a una web donde existen juegos online para practicar el cálculo de áreas con los niños. ¡Espero que os sea útil!